【暇つぶし】モンティホール問題(確率) 簡単な解説付き

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今回紹介するのはパラドックスと呼ばれる、一見正しそうに見える推論からは予想だにしない結論が得られる問題です。皆さんも一度解いてみてください。私は大学生の頃とある授業でこの問題に出会い確率のとりこになりました。 

 

 

モンティ・ホール問題

アメリカのゲームショー番組、「Let’s Make A Deal」の中で行われたゲームに関する論争。登場人物は挑戦者と司会者の2人、クイズミリオネアみたいな感じです。

シチュエーション

1.ドアが3つあり中にはひとつだけ当たりの「新車」が残りの2つはハズレの「ヤギ」が入っています。

 

2.挑戦者はドアをひとつ選びます。(ここで重要になってくるのは司会者が当たりの場所を知っていることとなります。)

 

3.司会者は挑戦者が選んでないドアのひとつを開けてしまいます。当然司会者は当たりの場所を知っているので開けるのはハズレのドアとなります。

 

4.挑戦者はドアを変えるか最初のままにするか選べます。

 

さて、あなたが挑戦者ならどうしますか?ドアを変えるか変えないかで当たる確率は変わるのでしょうか? 

論争について

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とてもシンプルな問題だと思いますがなぜ全米で大論争が起きたのか。それはドアを変えても変えなくても確率は変わらないと思っている人が大多数だったから。感覚だけで言うとそんな気がしますが、答えは違います。これがパラドックス

解答と解説

解答

察しの良い方はもうお気づきだと思いますが挑戦者はドアを変えたほうが当たりを引ける確率が上がります。しかも最初選んだドアから違うドアに変えると当たる確率は2倍になります。

 

解説

この問題は司会者が当たりの場所を知っていることと、当たりの場所は変わらないということが重要となってきます。このゲームを最初から順に追っていきましょう。

 

1.まず、挑戦者は3つのドアの中からひとつを選びます。

⇨この時ハズレを引く確率は2/3(「当たり」「ハズレ」「ハズレ」

 

2.次に司会者は挑戦者が選んでないハズレのドアを開け、挑戦者はドアを変えるか変えないか選びます。

⇨最初に選んだドアは外れている確率が2/3。司会者は必ずハズレのドアを開けるので最初に選んだドアが外れていたなら、ドアを変えることで挑戦者は必ず当たりを引けるのです!また、最初に選んだドアが当たりの確率は1/3。当たり前ですがドアを変えないと当たる確率は1/3となるため、ドアを変えたほうが当たる確率は2倍になるのです。

 まとめ

いかがでしたでしょうか?もっと詳しく理解したい時は全ての条件を書き出してみるといいかもしれませんね。パラドックスに興味が出てきたあなたももう確率のとりこかも!